Simplicial set

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　Simplicial complexの一般的な考えとしてSimplicial setというものを考える。Simplicial setというのは、一言で言えばpartinal ordered categoryから集合のcategoryへのcontravariant functor
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

である。もっといえば0以上の整数で添え字付けられた集合と、degeneracyとfaceというそれぞれ次数を+1、-1変化させる写像が与えられ、それらに関して条件を満たすものと考えても良い。というのも、上記のfunctorで定義したときのmorphismにあたるnatural transformationがこれらdegeneracyとfaceによって生成されるからである。基本的なことは【May93】や【Cur71】を見るといい。Web上では【Rie08】などや、図を交えて解説してある【Frie08】もある。

　functorの値域を集合のcategoryから別のcategory、例えばR-moduleや位相空間、群、再度simplicial set……なんかに変えてやることにより、Simplicial module、simplicial space、Simplicial group、bisimplicial set……なんかを定義できる。一般にはSimplicial objectと呼ばれる。simplicial全般に関しては、【GJ99】が詳しい。
　位相空間のSingular HomologyやSimplicial setのhomologyを考える際に、complexを構成してhomologyを構成したが、そのchain complexに行き着く流れを正確に読み取ると、
　　　

という流れなのだと思う。いずれにしてもsimplicial setを経由しての構成である。特に、上記で整数係数で考えた場合、最後のsimplicial abelian groupとbounded belowなDGMはcategoryとして同値でDold-Kan correspondenceと呼ばれる有名な対応である。というのも、simplicial abelian groupをただのsimplicial setと見なした場合、Kan complexになるが、そのhomotopy groupと、対応するDGMのhomologyとが一致するというところが面白い【May93】。また、【DLW09】では、そのdendroidal setでのversionを考えている。Nonabelianのversionもあるらしい【Ant10】。

　Simplicial setと空間の関係で重要なのは、上の流れの始めのfunctor、Singular functorよりもむしろ、その逆のAdjunctionである幾何学的実現（Geometric Realization）である。simplicial setよりもsimplicial spaceの実現で一般的に考えた方がいいのかもしれない。【西田85】にsimplicial spaceについてかかれている。simplicial setの幾何学的実現はCW complexになる。しかし、degenerateな単体が多くでてきて面倒なので、【Dus02】ではcollapsing shemeというものを考えて、nondegenerateな単体をさらに３種類に分けて特徴づけをしている。実現はproductを保つのは重要である。空間のjoinに対応するようにsimplicial setのjoinがある【EP99】。

　simplicial setと位相空間はこの幾何学的実現とsingular functorによって行き来がしやすい。例えば、ある空間でその空間の情報をあまり変えずにCW複体を構成したいときなどは、singular functorとrealize functorを施せばよい。CW近似などと呼ばれるが、この方法以外にも【May99】にCW近似の方法が載っていた。

　特別なSimplicial setとしては、以下のようなものがある。

Kan complex　【May93】、【GJ99】、【Jar】
Minimal complex　【May93】
Quasi category　【Joy08】、【Lur08】、【Tei06】

　simplicial setでのhomotopy論を行うときにはKan complexを仮定することが多い。例えば、任意の空間におけるSingular simplicial setや、simplicial group、Groupoidのnerveなどがある。quasi categoryはKan complexとNerve functorのimageの双方の性質を満たすものである。Lurieはこれがhigher categoryとしての性質を持っていると考えている。そのため、ω-categoryや∞-categoryと呼ばれることもある。simplicial setとsimplicial categoryの関係で基本的なのはsimplicial categoryのsimplicial nerveを取るという操作であるが、fibrantなsimplicial categoryのsimplicial berveはquasi categoryになる。そのadjointであるsimplicial category化のfunctorについても【Rie09'】で、そのhom spaceが3-coskeletalであることが示されている。【DS09】ではquasi categoryにrigidificationを施してsimplicial categoryを構成し、【DS09'】ではmapping spaceを考えている。

　simplicial setのmodel structureは実現をとってweak homotopy equivalenceになるものをweak equivalence、Kan fibrationをfibration、injectionをcofibrationに指定していれることができる。【Ho98】を見るとよい。このmodel structureではobjectはall cofibrantで、fibrant objectはKan complexとなる。
　singularとrealizationのfunctorはそれぞれのmodel categoryにおけるQuillen equivalenceになっている。（位相空間はQuillen model）。Quillen functorの性質からrealizationはcofibrationを、singular functorはfibrationを保つ事はすぐにわかるが、Quillenは【Qui68】でrealizationがfibrationを保つ事も示した。これは、Kan fibrationをminimal fibrationと、あるLift propatyを持つmorphismに分解できるということが鍵らしい。
　もうひとつsimplicial setのmodel structureを挙げると、fibrant objectがquasi categoryになるstructureである。【Joy08】、【Rie08】などを見るといい。【Lur08】、【Mina08】ではそのQuasi categoryを高次categoryとして考えている。Boyarchenkoのlectureも読みやすい【Boy07】。
　Simplicial setはSimplicial complexと同じように（重心）細分を取るという操作ができる。Simplicial setでも２回重心細分を施すと、simplicial complexになるらしい。また、そのadjointというのも重要である。そのright adjointはEx functorと呼ばれていてKan complexを作り出すのに有効である【Gui06】。
　空間と同様に群のactionをもつsimplicial setなども考えられている【Raf02】。これは結局、群という１つのobjectからSSetへのfunctorと考えるべきで、それらとcomma categoryの関係は【Ste00】でsmall categoryとも関連ずけて考えられている。
　simplicial resolutionという手法を用いて、homology群などを考えているのは【GL07】である。【Jar04】ではKan replacementを考察し、【Zhu08】ではそれをsimplicial manifoldで考えている。また、finiteとsymmetric simplicial setの関係を考えている人もいる【Gra01】。